uma proposição composta reúne duas ou mais proposições simples, geralmente ligadas por conectivos. Por exemplo: “Maria estuda à noite e trabalha durante o dia.” Nessa frase, há duas ideias: Maria estuda à noite; Maria trabalha durante o dia. O conectivo “e” une essas duas informações. Materiais de lógica matemática explicam que proposições simples podem formar proposições compostas por meio de conectivos, como “e”, “ou” e “não”.

Os conectivos serão estudados com mais detalhes nas próximas aulas, mas é importante perceber desde já que eles mudam a forma de analisar uma frase. A afirmação “João fez a prova e entregou o trabalho” só será totalmente verdadeira se as duas partes forem verdadeiras. Se João fez a prova, mas não entregou o trabalho, a frase completa não se confirma.

Observe outro exemplo: “Ana comprou pão ou leite.” No uso cotidiano, o “ou” pode ter sentidos diferentes. Às vezes, significa uma coisa ou outra, mas não ambas. Em outros contextos, pode significar pelo menos uma das opções. A lógica ajuda justamente a deixar esse tipo de interpretação mais precisa. Por isso, quando estudamos proposições, também precisamos prestar atenção ao sentido dos conectivos.

Um ponto essencial é entender que o valor lógico de uma proposição pode depender do contexto. A frase “Hoje é segunda-feira” pode ser verdadeira em um dia e falsa em outro. Ainda assim, ela é uma proposição, porque permite julgamento de verdade. O que muda é o valor lógico, não sua natureza como proposição.

Da mesma forma, “A aula começa às 19h” é uma proposição. Se a aula realmente começa nesse horário, ela é verdadeira. Se começa às 20h, ela é falsa. O importante é que a frase apresenta uma afirmação verificável.

Agora compare com a frase “Estude mais para a prova”. Essa frase pode ser útil, pode ser um bom conselho, mas não é uma proposição lógica. Não cabe dizer que ela é verdadeira ou falsa. Ela expressa uma orientação. Por isso, ordens, pedidos, perguntas, exclamações e desejos geralmente não são tratados como proposições.

Esse tipo de distinção ajuda muito em provas e atividades de raciocínio lógico. Algumas questões pedem que o aluno identifique quais frases são proposições. Para isso, ele deve se perguntar: “Essa frase afirma algo?” e “É possível classificá-la como verdadeira ou falsa?”. Se a resposta for sim, provavelmente se trata de uma proposição.

Veja alguns exemplos:

“A água é formada por hidrogênio e oxigênio.”
Essa frase é uma proposição, pois faz uma afirmação que

frase é uma proposição, pois faz uma afirmação que pode ser verificada.

“Você fez a atividade?”
Essa frase não é proposição, pois é uma pergunta.

“Não falte à reunião.”
Essa frase não é proposição, pois é uma ordem ou orientação.

“O número 15 é múltiplo de 3.”
Essa frase é uma proposição, pois pode ser julgada como verdadeira.

“Que dia bonito!”
Essa frase não é proposição lógica em sentido formal, pois expressa uma impressão subjetiva.

A Base Nacional Comum Curricular destaca a importância de desenvolver habilidades ligadas à resolução de problemas, argumentação, investigação e comunicação matemática. Esses processos exigem que o estudante compreenda enunciados, organize informações e justifique ideias com clareza. O estudo das proposições contribui para esse desenvolvimento, pois ensina o aluno a observar exatamente o que uma frase afirma.

Outro cuidado importante é não confundir proposição com frase verdadeira. Uma proposição não precisa ser verdadeira para ser proposição. Ela precisa apenas poder ser avaliada como verdadeira ou falsa. Por exemplo, “O número 9 é par” é uma proposição, embora seja falsa. A frase apresenta uma afirmação clara, e conseguimos verificar seu valor lógico.

Esse ponto costuma causar confusão. Alguns alunos pensam que proposição é apenas uma frase correta. Na verdade, frases falsas também podem ser proposições. O que importa é a possibilidade de julgamento lógico.

Também existem frases que dependem de informações adicionais para serem avaliadas. “Ela chegou atrasada” pode ser uma proposição, mas é necessário saber quem é “ela” e qual era o horário esperado. Se o contexto estiver claro, a frase poderá ser verdadeira ou falsa. Se o contexto estiver ausente, a frase fica incompleta para análise.

Por isso, no raciocínio lógico, a clareza é fundamental. Uma afirmação ambígua pode gerar interpretações diferentes. Imagine a frase: “Pedro viu o homem com o binóculo.” Quem estava com o binóculo: Pedro ou o homem? A frase permite mais de uma leitura. Em situações assim, a lógica pede cuidado, pois uma informação ambígua pode prejudicar a conclusão.

O estudo das proposições ajuda o aluno a ler melhor. Ele passa a perceber o tipo de frase, a identificar afirmações e a diferenciar informação, pergunta, ordem, desejo e opinião. Esse treino melhora a interpretação de enunciados e reduz erros causados por leitura apressada.

No cotidiano, essa habilidade também é útil. Em uma empresa, por exemplo, uma regra como “O pedido será enviado

cotidiano, essa habilidade também é útil. Em uma empresa, por exemplo, uma regra como “O pedido será enviado após a confirmação do pagamento” é uma proposição dentro de determinado contexto. Ela informa uma condição. Se o pagamento foi confirmado, o envio pode ocorrer conforme a regra. Se não foi confirmado, não se pode concluir que o envio deve acontecer.

Em uma escola, a frase “Alunos com frequência mínima de 75% podem realizar a avaliação final” também funciona como uma afirmação lógica. Ela permite analisar casos concretos. Se um aluno tem 80% de frequência, atende à condição. Se tem 60%, não atende. A proposição ajuda a transformar uma regra em critério de decisão.

Outro exemplo aparece em situações de segurança: “O equipamento deve ser desligado antes da manutenção.” Essa frase é uma orientação, mas pode ser convertida em uma proposição analisável: “O equipamento está desligado antes da manutenção.” Agora temos uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Esse tipo de transformação ajuda a verificar procedimentos.

O aluno iniciante deve perceber que a lógica não é apenas uma teoria distante. Ela aparece quando precisamos conferir regras, validar informações, interpretar instruções e tomar decisões. Saber identificar proposições é o primeiro passo para analisar argumentos mais complexos.

Também é importante lembrar que a lógica trabalha com precisão, mas isso não significa que o aluno deva decorar tudo mecanicamente. O mais importante nesta aula é compreender a ideia central: proposições são afirmações que admitem valor lógico. A partir delas, será possível estudar negações, conectivos, tabelas-verdade, argumentos e conclusões.

Uma forma simples de praticar é observar frases do cotidiano e classificá-las. Ao ler um aviso, uma mensagem ou uma regra, pergunte: “Isso afirma algo?”, “Posso dizer se é verdadeiro ou falso?”, “É uma pergunta, ordem ou desejo?”. Esse exercício desenvolve atenção e prepara o aluno para problemas mais elaborados.

Veja a frase: “Todos os documentos foram entregues.” Ela é uma proposição. Pode ser verdadeira, se todos foram entregues, ou falsa, se algum documento ficou faltando. Já a frase “Entregue todos os documentos” não é proposição, pois é uma ordem. As duas frases tratam do mesmo assunto, mas têm funções diferentes.

Essa diferença é essencial para o raciocínio lógico. Muitas vezes, o erro não está em fazer uma conta errada, mas em interpretar mal a estrutura da frase. Quando o aluno aprende a reconhecer

proposições, ele começa a perceber melhor o que pode ser analisado logicamente.

Portanto, a aula sobre proposições é uma base para todo o restante do módulo. Antes de estudar conectivos, equivalências ou argumentos, é necessário reconhecer as unidades básicas da lógica: as afirmações. Elas são os blocos iniciais a partir dos quais o pensamento lógico será construído.

Atividade de fixação

Classifique as frases abaixo como proposição ou não proposição.

1.     “O número 8 é par.”

2.     “Feche o caderno.”

3.     “A reunião começa às 10h.”

4.     “Você entendeu a explicação?”

5.     “Existem 12 meses no ano.”

6.     “Tomara que a aula termine cedo.”

7.     “O número 5 é maior que 9.”

Respostas:

1.     Proposição, pois pode ser classificada como verdadeira.

2.     Não proposição, pois é uma ordem.

3.     Proposição, pois pode ser verdadeira ou falsa conforme o horário real.

4.     Não proposição, pois é uma pergunta.

5.     Proposição, pois apresenta uma afirmação verdadeira.

6.     Não proposição, pois expressa desejo.

7.     Proposição, pois apresenta uma afirmação falsa, mas verificável.

Conclusão da aula

Proposição é uma frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Ela pode ser simples, quando apresenta uma única ideia, ou composta, quando reúne duas ou mais afirmações por meio de conectivos.

Saber identificar proposições é fundamental para o estudo do raciocínio lógico. Essa habilidade ajuda o aluno a interpretar melhor os enunciados, separar afirmações de perguntas ou ordens e compreender a estrutura dos argumentos. Antes de resolver problemas mais complexos, é preciso reconhecer quais frases podem ser analisadas logicamente.

Referências bibliográficas

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.

IMPA; OBMEP. Introdução à Lógica Matemática. Portal da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. São Paulo: Atual.

COPI, Irving M. Introdução à lógica. São Paulo: Mestre Jou.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel.

Aula 5 — Conectivos lógicos: “e”, “ou”, “não”, “se... então”

Na aula anterior, vimos que proposições são frases declarativas que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas. Agora, vamos avançar um passo: muitas vezes, uma única proposição

não é suficiente para expressar uma ideia completa. Precisamos ligar informações, negar uma afirmação, apresentar alternativas ou indicar uma condição. É aí que entram os conectivos lógicos.

Os conectivos lógicos são palavras ou símbolos usados para unir ou modificar proposições. Eles permitem formar frases mais completas, chamadas proposições compostas. Em materiais de lógica matemática, os conectivos aparecem justamente como operadores que combinam ou alteram proposições, dando origem a sentenças mais complexas.

Na linguagem comum, usamos conectivos o tempo todo. Dizemos, por exemplo: “Estudei e fiz a atividade”, “Vou de ônibus ou de bicicleta”, “Não entreguei o trabalho” ou “Se chover, então levarei guarda-chuva”. Essas frases parecem simples, mas cada uma delas tem uma estrutura lógica diferente. Compreender essa estrutura ajuda o aluno a interpretar melhor regras, enunciados, avisos, contratos, orientações e problemas de prova.

O primeiro conectivo que vamos estudar é a negação, representada pela palavra “não”. A negação modifica o valor de uma proposição. Se uma afirmação é verdadeira, sua negação será falsa. Se uma afirmação é falsa, sua negação será verdadeira. Por exemplo, se a proposição “O número 8 é par” é verdadeira, então “O número 8 não é par” é falsa.

A negação parece simples, mas exige atenção. Negar uma frase não significa apenas colocar a palavra “não” em qualquer lugar. É preciso negar corretamente a ideia central. A frase “Todos os alunos entregaram a atividade”, por exemplo, não deve ser negada como “Nenhum aluno entregou a atividade”. A negação correta é: “Pelo menos um aluno não entregou a atividade”. Isso porque, para a frase “todos entregaram” ser falsa, basta que exista um aluno que não entregou.

Esse é um erro muito comum em raciocínio lógico: exagerar a negação. Quando alguém diz “nem todos participaram”, isso não significa que ninguém participou. Significa apenas que pelo menos uma pessoa não participou. A lógica ajuda a fazer esse tipo de distinção com mais precisão.

O segundo conectivo é o “e”, chamado de conjunção. Ele indica que duas condições devem acontecer ao mesmo tempo para que a proposição composta seja verdadeira. Por exemplo: “O aluno fez a prova e entregou o trabalho.” Essa frase só será verdadeira se as duas partes forem verdadeiras: o aluno fez a prova e também entregou o trabalho.

Se o aluno fez a prova, mas não entregou o trabalho, a frase completa é falsa. Se entregou o trabalho, mas não fez a prova,

também é falsa. Se não fez nenhuma das duas coisas, continua falsa. Com o conectivo “e”, não basta cumprir uma parte. É necessário cumprir todas as condições.

Esse conectivo aparece muito em regras escolares, profissionais e administrativas. Veja: “Para receber o certificado, o aluno precisa atingir a nota mínima e cumprir a frequência exigida.” Nesse caso, não basta ter boa nota. Também é preciso cumprir a frequência. Da mesma forma, não basta ter frequência se a nota não for suficiente. O “e” exige o conjunto.

No cotidiano, muitos erros acontecem porque as pessoas leem uma condição composta e consideram apenas uma parte. Um funcionário pode liberar um pedido porque o pagamento foi feito, mas esquecer que também era necessário confirmar o endereço. Um aluno pode achar que está aprovado porque tirou boa nota, mas ignorar a frequência mínima. O conectivo “e” pede atenção a todos os requisitos.

O terceiro conectivo é o “ou”, chamado de disjunção. Ele indica alternativa. Em lógica, geralmente o “ou” é entendido como inclusivo. Isso significa que a proposição composta será verdadeira quando pelo menos uma das partes for verdadeira. Por exemplo: “O candidato pode apresentar RG ou CNH.” Nesse caso, se apresentar RG, atende à condição. Se apresentar CNH, também atende. Se apresentar os dois documentos, normalmente também atende.

Esse uso do “ou” pode causar confusão porque, na fala cotidiana, às vezes usamos “ou” com sentido exclusivo, como em “ou você entra agora ou espera a próxima turma”. Nessa situação, a ideia pode ser escolher uma opção, não as duas. Por isso, em raciocínio lógico, é importante observar o contexto. Quando o problema não indica exclusividade, o “ou” costuma ser tratado como possibilidade de uma opção, outra opção ou ambas.

Veja outro exemplo: “A inscrição poderá ser feita pelo site ou presencialmente.” Se a pessoa fez pelo site, está correto. Se fez presencialmente, também. Se por algum motivo iniciou pelo site e confirmou presencialmente, pode ser que a regra ainda seja atendida, desde que o contexto não proíba isso. A lógica ensina a ler exatamente o que foi informado, sem acrescentar restrições que não aparecem no texto.

O quarto conectivo é o “se... então”, chamado de condicional. Ele indica uma relação entre uma condição e uma consequência. Por exemplo: “Se o pagamento for confirmado, então o pedido será enviado.” A primeira parte, “o pagamento for confirmado”, é a condição. A segunda, “o pedido será enviado”, é a consequência.

Esse conectivo exige muito cuidado porque muitas pessoas invertem a frase de forma errada. A afirmação “Se o pagamento for confirmado, então o pedido será enviado” não significa, automaticamente, que “se o pedido foi enviado, então o pagamento foi confirmado”. Pode haver outras formas de envio, exceções ou procedimentos internos. A frase original garante apenas o caminho da condição para a consequência.

Outro exemplo: “Se chover, então levarei guarda-chuva.” Se choveu, espera-se que a pessoa leve guarda-chuva. Mas, se ela levou guarda-chuva, não podemos concluir com certeza que choveu. Ela pode ter levado por prevenção, por costume ou porque viu o céu nublado. Esse é um dos pontos mais importantes da lógica condicional: não inverter a relação sem autorização.

A condicional aparece em muitas normas e instruções. “Se o aluno tiver nota mínima, poderá fazer a próxima etapa.” “Se o documento estiver incompleto, será devolvido.” “Se houver atraso no pagamento, haverá cobrança de multa.” Em todos esses casos, há uma condição que gera uma consequência.

A Base Nacional Comum Curricular destaca a importância de desenvolver capacidades ligadas à resolução de problemas, argumentação e comunicação matemática. O estudo dos conectivos contribui para isso, pois ajuda o estudante a ler com mais precisão, justificar conclusões e compreender a estrutura das informações.

Além desses conectivos, existe também o “se e somente se”, chamado de bi condicional. Ele será apenas apresentado aqui, pois costuma ser estudado depois da condicional. Essa estrutura indica uma relação nos dois sentidos. Por exemplo: “O aluno será aprovado se e somente se cumprir todos os requisitos.” Nesse caso, cumprir os requisitos é condição necessária e suficiente para a aprovação.

Na prática, o aluno iniciante deve dominar primeiro os conectivos mais comuns: “não”, “e”, “ou” e “se... então”. Eles aparecem com frequência em questões de raciocínio lógico e também em situações reais. Saber interpretá-los evita muitos erros.

Uma forma simples de entender os conectivos é observar o que cada um exige. O “não” inverte a afirmação. O “e” exige que todas as partes sejam verdadeiras. O “ou” exige que pelo menos uma parte seja verdadeira. O “se... então” estabelece uma relação entre condição e consequência.

Observe a frase: “O aluno receberá o certificado se tiver nota mínima e frequência suficiente.” Nessa estrutura, há uma condição composta. Para receber o certificado, o aluno precisa cumprir duas

exigências: nota e frequência. Se cumprir apenas uma, a condição não estará completa.

Agora veja: “O aluno poderá apresentar RG ou CNH.” Aqui, há uma alternativa. Ele não precisa apresentar os dois documentos, a menos que a regra diga isso. Basta que apresente um dos documentos aceitos.

Compare com: “O aluno não apresentou documento.” Nesse caso, a negação indica ausência da ação. Se a frase “O aluno apresentou documento” era verdadeira, sua negação será falsa. Se ele realmente não apresentou, a negação será verdadeira.

Já em “Se o aluno entregar a atividade no prazo, então receberá pontuação”, temos uma condicional. A entrega no prazo é a condição; a pontuação é a consequência. Se ele entregou no prazo, a regra indica que receberá pontuação. Mas, se recebeu pontuação, não podemos concluir automaticamente que foi por essa atividade, a menos que o texto diga isso.

O estudo dos conectivos também ajuda a perceber contradições. Duas frases entram em conflito quando não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Por exemplo: “Todos os alunos entregaram a atividade” e “Pedro não entregou a atividade”. Se Pedro é aluno da turma, as duas afirmações não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. A lógica permite perceber esse choque entre informações.

Materiais introdutórios da OBMEP/IMPA apresentam a lógica como ferramenta para sustentar argumentações matemáticas e evitar dúvidas na construção das ideias. Isso reforça a importância de compreender bem os conectivos, pois eles são parte da linguagem usada para construir argumentos com clareza.

Em provas, os conectivos costumam aparecer em enunciados que exigem interpretação cuidadosa. Palavras pequenas podem mudar toda a resposta. “E” não é o mesmo que “ou”. “Se” não é o mesmo que “somente se”. “Nem todos” não é o mesmo que “nenhum”. Por isso, o aluno deve ler devagar e, se necessário, reescrever a frase com palavras mais simples.

Um erro frequente é tratar o “ou” como “e”. Por exemplo, se uma regra diz “o candidato deve apresentar comprovante de residência ou declaração assinada”, não se deve exigir os dois documentos, a menos que exista outra regra complementando. Outro erro é tratar o “e” como “ou”, aceitando apenas parte das condições quando todas seriam necessárias.

Também é comum errar a negação de frases com “e” e “ou”. A negação de “João estuda e trabalha” não é, obrigatoriamente, “João não estuda e não trabalha”. Para negar a frase original, basta que uma das partes falhe. Assim, a negação correta é: “João

não é, obrigatoriamente, “João não estuda e não trabalha”. Para negar a frase original, basta que uma das partes falhe. Assim, a negação correta é: “João não estuda ou não trabalha”. Já a negação de “João estuda ou trabalha” é: “João não estuda e não trabalha”. Esse tipo de regra será aprofundado em aulas posteriores, mas é bom começar a perceber a diferença.

No cotidiano, os conectivos aparecem em decisões simples. “Vou ao mercado e à farmácia” indica que as duas ações serão realizadas. “Vou ao mercado ou à farmácia” indica alternativa. “Se eu terminar o relatório, então responderei os e-mails” indica uma condição. “Não irei à reunião” nega uma ação. A lógica organiza essas relações para que possamos compreender melhor o que foi dito.

Para aprender conectivos, o mais importante é praticar com frases comuns. O aluno não precisa começar decorando símbolos. Pode começar entendendo o sentido das palavras. Depois, os símbolos ficam mais fáceis: “não” pode ser representado por ¬; “e” por ∧; “ou” por ∨; “se... então” por →; “se e somente se” por ↔.

Os símbolos são úteis porque resumem frases longas. Porém, o raciocínio lógico não deve se tornar mecânico. Antes de simbolizar, é preciso entender. Uma frase mal interpretada será simbolizada de forma errada, e toda a solução ficará comprometida.

Portanto, os conectivos lógicos são peças fundamentais para construir e interpretar proposições compostas. Eles mostram como as informações se relacionam. Quando o aluno entende bem essas relações, passa a resolver problemas com mais segurança e a evitar conclusões apressadas.

Nesta aula, o principal aprendizado é que palavras pequenas têm grande importância. Um “e”, um “ou”, um “não” ou um “se” podem mudar completamente o sentido de uma frase. Quem aprende a observar esses conectivos desenvolve uma leitura mais atenta e um pensamento mais organizado.

Atividade de fixação

Leia as frases e identifique o conectivo principal.

1.     “O aluno estudou e fez a atividade.”
Conectivo: “e”. A frase só será verdadeira se as duas ações acontecerem.

2.     “O candidato pode apresentar RG ou CNH.”
Conectivo: “ou”. A condição será atendida se pelo menos uma das opções for apresentada.

3.     “Não haverá aula amanhã.”
Conectivo: “não”. A frase nega a ocorrência da aula.

4.     “Se o pagamento for confirmado, então o pedido será enviado.”
Conectivo: “se... então”. A frase apresenta uma condição e uma consequência.

5.     “O funcionário receberá bônus se cumprir a meta e

entregar o relatório.”
Conectivos: “se” e “e”. A consequência depende de duas condições.

Conclusão da aula

Os conectivos lógicos servem para unir ou modificar proposições. A negação altera o valor de uma afirmação. A conjunção, representada pelo “e”, exige que todas as partes sejam verdadeiras. A disjunção, representada pelo “ou”, indica alternativa e geralmente exige que pelo menos uma parte seja verdadeira. A condicional, representada por “se... então”, estabelece uma relação entre condição e consequência.

Compreender esses conectivos é essencial para interpretar regras, resolver questões e analisar argumentos. Eles aparecem em situações escolares, profissionais e cotidianas. Por isso, aprender a identificá-los é um passo importante para desenvolver o raciocínio lógico.

Referências bibliográficas

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.

IMPA; OBMEP. Introdução à Lógica Matemática. Portal da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.

BRASIL ESCOLA. Lógica matemática: o que é, conceitos, operações.

MUNDO EDUCAÇÃO. Lógica matemática: proposições, símbolos.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. São Paulo: Atual.

COPI, Irving M. Introdução à lógica. São Paulo: Mestre Jou.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel.

Aula 6 — Sequências, padrões e relações

As sequências e os padrões aparecem com frequência no estudo do raciocínio lógico. Eles estão presentes em números, letras, figuras, cores, posições, horários, calendários, códigos, senhas, rotinas e até em situações de trabalho. Quando uma pessoa percebe que algo se repete, cresce, diminui ou muda seguindo uma regra, ela está identificando um padrão.

Em raciocínio lógico, uma sequência é um conjunto de elementos organizados em determinada ordem. Esses elementos podem ser números, letras, palavras, símbolos ou imagens. O desafio é descobrir qual regra organiza essa sequência. Depois de encontrar a regra, podemos prever o próximo elemento, completar uma lacuna ou explicar o funcionamento do padrão.

A Base Nacional Comum Curricular valoriza processos como resolução de problemas, investigação, desenvolvimento de estratégias e argumentação, aspectos muito próximos do estudo de sequências e padrões, pois o aluno precisa observar, testar hipóteses e justificar sua resposta. O PISA também relaciona a

Base Nacional Comum Curricular valoriza processos como resolução de problemas, investigação, desenvolvimento de estratégias e argumentação, aspectos muito próximos do estudo de sequências e padrões, pois o aluno precisa observar, testar hipóteses e justificar sua resposta. O PISA também relaciona a matemática à capacidade de raciocinar, formular, empregar e interpretar soluções em contextos do mundo real.

O primeiro cuidado ao resolver uma sequência é não tentar adivinhar. Muitos alunos olham os primeiros termos e respondem rapidamente, sem conferir se a regra funciona até o final. Esse é um erro comum. Em lógica, uma hipótese só deve ser aceita depois de testada em todos os elementos apresentados.

Veja a sequência: 2, 4, 6, 8, 10. Nesse caso, a regra é simples: somar 2 a cada termo. O próximo número será 12. Agora observe: 3, 6, 12, 24. Aqui, a regra não é somar sempre a mesma quantidade, mas multiplicar por 2. O próximo termo será 48. As duas sequências crescem, mas crescem de formas diferentes.

Esse exemplo mostra que não basta perceber que os números aumentam. É preciso descobrir como eles aumentam. Em algumas sequências, somamos; em outras, multiplicamos; em outras, alternamos operações. A atenção ao modo como os termos se relacionam é o que permite encontrar a resposta correta.

As sequências numéricas mais simples são aquelas em que há uma diferença constante entre os termos. Por exemplo: 5, 10, 15, 20, 25. A diferença entre um número e o próximo é sempre 5. Por isso, o próximo termo é 30. Esse tipo de sequência é chamado, em linguagem matemática, de progressão aritmética, mas o aluno iniciante não precisa se preocupar primeiro com o nome técnico. O mais importante é perceber a regularidade.

Também existem sequências em que a multiplicação se repete. Observe: 2, 6, 18, 54. Cada termo é multiplicado por 3. Portanto, o próximo será 162. Esse tipo de padrão exige que o aluno teste se a mesma multiplicação funciona em todos os termos. Se funcionar, a regra provavelmente foi encontrada.

Há ainda sequências em que as diferenças aumentam ou diminuem. Veja: 1, 3, 6, 10, 15. As diferenças são +2, +3, +4, +5. Como o aumento cresce de um em um, a próxima diferença será +6. Assim, o próximo termo será 21. Nesse caso, quem procura apenas uma soma fixa pode se confundir, pois a sequência não soma sempre o mesmo número.

Outro exemplo: 2, 5, 9, 14, 20. As diferenças são +3, +4, +5, +6. A próxima diferença será +7. Portanto, o próximo termo será 27. Esse

tipo de exercício mostra que a regra nem sempre está nos números principais; às vezes, está na diferença entre eles.

Também é comum encontrar sequências formadas por quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25. Esses números correspondem a 1², 2², 3², 4² e 5². O próximo será 36, pois 6² = 36. Para iniciantes, a melhor forma de reconhecer esse padrão é memorizar os primeiros quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

As sequências podem aparecer também com letras. Nesse caso, é importante lembrar a posição das letras no alfabeto. A sequência A, C, E, G segue uma regra de pular uma letra. Depois de A vem C, depois E, depois G. O próximo termo será I. Já a sequência B, D, G, K é um pouco diferente. As posições são 2, 4, 7, 11. As diferenças são +2, +3, +4. A próxima diferença será +5, chegando à posição 16, que corresponde à letra P.

Esse tipo de questão exige paciência. Quando as letras parecem confusas, o ideal é transformá-las em números. A letra A corresponde à posição 1, B à posição 2, C à posição 3, e assim por diante. Depois disso, a sequência pode ser analisada como uma sequência numérica.

Também existem padrões alternados. Observe: 2, 5, 4, 10, 6, 15. À primeira vista, parece difícil. Mas, se separarmos os termos por posição, percebemos duas sequências misturadas. Nas posições ímpares temos 2, 4, 6. Nas posições pares temos 5, 10, 15. Logo, o próximo termo, que ocupará posição ímpar, será 8. Depois viria 20. O segredo é perceber que nem sempre existe uma única sequência; às vezes, há duas regras intercaladas.

Esse tipo de padrão aparece muito em questões de raciocínio lógico porque testa a organização do pensamento. O aluno precisa observar, separar, comparar e testar. Se tentar resolver apenas pela aparência, pode errar.

As sequências com figuras também seguem regras. Uma figura pode girar, mudar de cor, aumentar a quantidade de elementos, alternar posição ou repetir ciclos. Por exemplo, imagine uma sequência de setas: para cima, para a direita, para baixo, para a esquerda. Se essa ordem continuar, a próxima seta será novamente para cima. A regra é uma rotação em ciclo.

Em padrões visuais, é importante observar mais de uma característica. A figura pode mudar ao mesmo tempo em cor, tamanho e posição. Um erro comum é prestar atenção em apenas um aspecto e ignorar os demais. Se uma questão apresenta círculos que mudam de cor e também aumentam em quantidade, as duas informações podem ser importantes.

No cotidiano, identificar padrões

ajuda em muitas situações. Um funcionário que observa o fluxo de clientes percebe os horários de maior movimento. Um estudante que revisa seus erros nota quais tipos de questão costuma errar. Uma pessoa que acompanha seus gastos mensais percebe em quais períodos gasta mais. Em todos esses casos, o raciocínio lógico ajuda a transformar observações em decisões melhores.

O estudo de sequências também desenvolve a habilidade de levantar hipóteses. Quando vemos uma lista de números, imaginamos uma regra possível. Depois, testamos essa regra. Se ela funciona em todos os termos, pode ser aceita. Se falha em algum ponto, precisa ser revista. Esse processo é semelhante ao que fazemos em muitos problemas reais: observamos, supomos, testamos e ajustamos.

A lógica matemática é importante justamente porque ajuda a sustentar argumentações e reduzir ambiguidades na construção das ideias, como indicam materiais introdutórios da OBMEP/IMPA. Em sequências, isso significa que a resposta não deve ser apenas “acho que é assim”, mas “a resposta é essa porque a regra observada é esta”.

Um cuidado importante é saber que algumas sequências podem admitir mais de uma regra, principalmente quando apresentam poucos termos. Por exemplo, a sequência 2, 4, 6 pode sugerir o próximo termo 8, se a regra for somar 2. Mas, com poucos elementos, outras regras poderiam ser criadas. Por isso, em provas e exercícios, geralmente se espera a regra mais simples e mais coerente com os dados apresentados.

Esse princípio é chamado de simplicidade da regra. Quando duas interpretações são possíveis, costuma-se escolher aquela que exige menos suposições e explica melhor todos os termos. No entanto, é sempre necessário observar o contexto. Se a questão trouxer alternativas, elas ajudam a confirmar qual padrão está sendo esperado.

Outra habilidade importante é reconhecer relações. Relação é o vínculo entre elementos. Em uma sequência, os termos se relacionam por soma, subtração, multiplicação, divisão, posição, alternância ou repetição. Em problemas lógicos, as relações também podem aparecer como “maior que”, “menor que”, “antes de”, “depois de”, “entre”, “ao lado de” ou “o dobro de”.

Veja o exemplo: “Ana chegou antes de Bruno, e Carla chegou depois de Bruno.” Aqui não há sequência numérica, mas há relação de ordem. Se Ana vem antes de Bruno e Carla vem depois de Bruno, a ordem é Ana, Bruno e Carla. Esse raciocínio também é sequencial, pois organiza elementos em uma ordem lógica.

Em outro exemplo:

“Pedro tem o dobro da idade de Lucas, e Lucas tem 10 anos.” A relação é de multiplicação. Se Lucas tem 10 anos, Pedro tem 20. A palavra “dobro” indica o tipo de relação entre os dados. Assim como nas sequências, entender a relação é mais importante do que decorar respostas.

Na resolução de problemas, uma boa estratégia é seguir quatro passos. Primeiro, observe todos os elementos da sequência. Segundo, compare um termo com o próximo. Terceiro, teste uma regra. Quarto, confirme se a regra funciona até o último termo apresentado. Só depois disso a resposta deve ser escolhida.

Veja a sequência: 4, 7, 11, 16, 22. Comparando os termos, temos diferenças de +3, +4, +5 e +6. Portanto, a próxima diferença deve ser +7. Assim, o próximo termo será 29. A resposta não veio de um chute, mas da observação das diferenças.

Agora veja: 100, 50, 25, 12,5. A regra é dividir por 2. O próximo termo será 6,25. Esse exemplo mostra que as sequências também podem diminuir e envolver números decimais. O importante é manter a mesma lógica de análise.

Em questões com letras, podemos aplicar a mesma ideia. Na sequência C, F, I, L, as posições são 3, 6, 9 e 12. A diferença é sempre +3. A próxima posição será 15, que corresponde à letra O. Logo, o próximo termo é O.

Em sequências alternadas, a organização é ainda mais importante. Observe: A, 2, B, 4, C, 6. Há duas sequências intercaladas: letras em ordem alfabética e números pares. Depois de C vem D; depois de 6 vem 8. Como o próximo termo depois de 6 é uma letra, a resposta será D.

A prática com sequências ajuda o aluno a desenvolver atenção, paciência e flexibilidade. Às vezes, a primeira regra imaginada não funciona. Isso não significa fracasso. Significa que a hipótese precisa ser ajustada. Pensar logicamente envolve justamente revisar o caminho quando os dados não confirmam a ideia inicial.

Em provas, é recomendável evitar três erros: responder sem testar, olhar apenas para os dois primeiros termos e ignorar padrões alternados. O aluno deve sempre conferir a sequência inteira. Muitas questões são construídas para parecer simples no começo, mas exigem uma regra mais cuidadosa.

No trabalho e na vida cotidiana, reconhecer padrões também ajuda a prever situações. Se uma loja percebe que vende mais em determinados dias, pode organizar melhor o estoque. Se uma pessoa nota que sempre se atrasa quando sai depois de certo horário, pode ajustar sua rotina. Se um aluno percebe que erra mais questões com conectivos lógicos, pode revisar

esse conteúdo com mais atenção.

Portanto, estudar sequências, padrões e relações é muito mais do que completar números em uma lista. É aprender a observar regularidades, testar hipóteses, justificar conclusões e aplicar esse modo de pensar a diferentes situações.

Nesta aula, o ponto principal é compreender que todo padrão precisa de uma regra. A resposta correta não deve ser escolhida por aparência, mas pela relação entre os elementos. Quando o aluno aprende a identificar essas relações, ganha mais segurança para resolver problemas lógicos e interpretar situações práticas.

Atividade de fixação

Complete as sequências e observe a regra usada.

1.     3, 6, 9, 12, ___
Resposta: 15. A regra é somar 3.

2.     2, 4, 8, 16, ___
Resposta: 32. A regra é multiplicar por 2.

3.     1, 4, 9, 16, ___
Resposta: 25. A sequência é formada por quadrados perfeitos.

4.     5, 8, 12, 17, ___
Resposta: 23. As diferenças são +3, +4, +5; a próxima é +6.

5.     A, C, E, G, ___
Resposta: I. A regra é pular uma letra.

6.     2, A, 4, B, 6, C, ___
Resposta: 8. Há duas sequências intercaladas: números pares e letras em ordem alfabética.

Conclusão da aula

Sequências são conjuntos de elementos organizados em determinada ordem. Padrões são regras que explicam como esses elementos se repetem, crescem, diminuem, alternam ou se transformam. Relações são os vínculos entre os elementos, como soma, multiplicação, ordem, posição ou repetição.

Para resolver esse tipo de problema, é necessário observar com calma, comparar termos, levantar hipóteses e testar se a regra funciona em toda a sequência. Essa prática desenvolve atenção, interpretação e capacidade de justificar respostas, habilidades essenciais para o raciocínio lógico.

Referências bibliográficas

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.

INEP. PISA 2022: Resultados. Brasília: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, 2023.

INEP. PISA 2022: Itens públicos de matemática. Brasília: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, 2023.

IMPA; OBMEP. Introdução à Lógica Matemática. Portal da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. São Paulo: Atual.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel.

Estudo de caso do Módulo 2 — O

cadastro liberado por engano

O Módulo 2 trabalhou três bases importantes do raciocínio lógico: proposições, conectivos e padrões. Esses conteúdos ajudam o aluno a interpretar frases que podem ser verdadeiras ou falsas, entender o efeito de palavras como “e”, “ou”, “não” e “se... então”, além de reconhecer sequências e relações. Esse tipo de habilidade se aproxima da proposta de desenvolver resolução de problemas, argumentação e organização do pensamento, aspectos valorizados em documentos educacionais como a BNCC.

Também dialoga com a ideia de letramento matemático apresentada pelo PISA, que envolve raciocinar, formular, aplicar e interpretar a matemática para resolver problemas em diferentes contextos do mundo real. Em outras palavras, estudar lógica não serve apenas para responder questões de prova; serve para lidar melhor com regras, decisões, instruções e situações práticas.

O caso: a matrícula que parecia pronta

Em uma escola profissionalizante, a secretaria precisava liberar a matrícula de alunos para uma turma de sábado. Como havia muitas inscrições, a coordenação criou uma regra simples para evitar erros:

“Se o aluno enviou os documentos e confirmou o pagamento, então a matrícula será liberada.”

Além disso, havia outra orientação:

“O aluno pode apresentar RG ou CNH como documento de identificação.”

E uma terceira regra:

“Os atendimentos devem seguir a ordem das senhas: A2, B4, A6, B8, A10, B12...”

No início da manhã, a auxiliar da secretaria, Camila, recebeu a ficha de um aluno chamado Rafael. Ele havia enviado a CNH, mas ainda não havia confirmação de pagamento. Como a documentação estava completa, Camila liberou a matrícula. Pouco depois, a coordenação percebeu o erro: a regra exigia documento enviado e pagamento confirmado.

A situação ficou ainda mais confusa porque outro funcionário organizou a chamada das senhas de forma incorreta. Ao olhar a sequência A2, B4, A6, B8, A10, B12, ele pensou que a próxima senha seria A13, apenas porque o número anterior era 12. Porém, a sequência seguia outro padrão: letras alternadas entre A e B, e números pares aumentando de 2 em 2. Portanto, a próxima senha correta seria A14.

O resultado foi um pequeno caos administrativo: uma matrícula foi liberada antes da hora, um aluno foi chamado fora da ordem e a equipe precisou revisar manualmente os cadastros já analisados. O problema não foi falta de vontade da equipe, mas falhas de interpretação lógica.

Primeiro erro: confundir “ou” com “e”

A regra

dizia que o aluno poderia apresentar RG ou CNH. Camila interpretou corretamente essa parte. Rafael apresentou CNH, então cumpriu a exigência de identificação.

O erro seria exigir os dois documentos, RG e CNH, quando a regra pedia apenas um deles. Esse é um erro comum: tratar o “ou” como se fosse “e”. Em lógica, o conectivo “ou”, quando usado de modo inclusivo, indica que pelo menos uma das opções pode atender à condição. Assim, se a regra aceita RG ou CNH, apresentar CNH já é suficiente, desde que não exista outra exigência complementar.

Como evitar esse erro

Sempre que aparecer “ou”, o aluno deve perguntar: a regra pede uma opção, outra opção ou as duas? Se o enunciado não indicar exclusividade, normalmente basta que uma das alternativas seja verdadeira.

Exemplo:

“O candidato pode apresentar RG ou CNH.”

Se apresentou RG, atende.

Se apresentou CNH, atende.

Se apresentou os dois, também pode atender, desde que a regra não proíba.

Atenção: “ou” não deve ser lido automaticamente como “somente um”. O contexto precisa ser observado.

Segundo erro: ignorar o “e”

A regra principal da matrícula dizia:

“Se o aluno enviou os documentos e confirmou o pagamento, então a matrícula será liberada.”

Aqui, o conectivo “e” é decisivo. Ele indica que as duas condições precisam ser cumpridas: envio dos documentos e confirmação do pagamento. Rafael havia enviado a CNH, mas não tinha pagamento confirmado. Logo, a matrícula não deveria ter sido liberada.

Esse é um erro muito comum em situações práticas. A pessoa vê uma parte da regra cumprida e conclui que tudo está certo. Mas, quando aparece “e”, uma condição isolada não basta. É necessário verificar o conjunto.

Como evitar esse erro

Sempre que aparecer “e”, transforme a regra em uma lista de checagem.

No caso de Rafael:

Documento enviado? Sim.

Pagamento confirmado? Não.

Matrícula pode ser liberada? Não.

A matrícula só poderia ser liberada se as duas respostas fossem “sim”. O conectivo “e” exige cumprimento completo da condição composta.

Terceiro erro: inverter a condicional

Depois do problema, Camila tentou justificar: “Se a matrícula foi liberada, então o pagamento deve estar confirmado.” Mas essa conclusão também estava errada.

A regra original dizia:

“Se o aluno enviou os documentos e confirmou o pagamento, então a matrícula será liberada.”

Essa frase garante uma direção: quando as condições forem cumpridas, a matrícula será liberada. Mas ela não permite concluir automaticamente que, se a matrícula

foi liberada, o pagamento estava confirmado. A matrícula poderia ter sido liberada por engano, como aconteceu.

Esse erro é muito comum no estudo das condicionais. A estrutura “se... então” não deve ser invertida sem cuidado. A lógica matemática trabalha justamente para reduzir ambiguidades e sustentar argumentações com mais precisão, como indicam materiais introdutórios da OBMEP/IMPA.

Como evitar esse erro

Ao encontrar uma frase com “se... então”, identifique a condição e a consequência.

Condição: aluno enviou documentos e confirmou pagamento.

Consequência: matrícula será liberada.

A regra permite afirmar:

Se as condições foram cumpridas, então a matrícula será liberada.

Mas não permite afirmar automaticamente:

Se a matrícula foi liberada, então todas as condições foram cumpridas.

Essa diferença parece pequena, mas evita muitos erros em provas, contratos, atendimentos e processos administrativos.

Quarto erro: negar a frase de forma exagerada

Durante a revisão, a coordenação disse:

“Todos os cadastros liberados devem ser conferidos.”

Um funcionário respondeu:

“Então, se essa frase for falsa, significa que nenhum cadastro precisa ser conferido.”

Essa interpretação está errada. A negação de “todos os cadastros liberados devem ser conferidos” não é “nenhum cadastro precisa ser conferido”. A negação correta é: “pelo menos um cadastro liberado não precisa ser conferido” ou “existe ao menos um cadastro liberado que não deve ser conferido”.

Esse é um dos erros mais comuns em lógica: negar “todos” como se fosse “nenhum”. Para uma frase com “todos” ser falsa, basta encontrar uma exceção.

Como evitar esse erro

Use a ideia de exceção.

Frase original:

“Todos os cadastros liberados devem ser conferidos.”

Negação correta:

“Pelo menos um cadastro liberado não deve ser conferido.”

Outro exemplo:

Frase original: “Todos os alunos entregaram a atividade.”

Negação correta: “Pelo menos um aluno não entregou a atividade.”

A negação não precisa destruir a frase inteira. Basta mostrar que ela não vale para todos os casos.

Quinto erro: não testar o padrão da sequência

A sequência das senhas era:

A2, B4, A6, B8, A10, B12...

O funcionário observou apenas o último número, 12, e pensou que a próxima senha seria A13. Ele não analisou a sequência inteira. Esse foi o erro.

Ao observar com calma, percebemos dois padrões ao mesmo tempo. As letras alternam entre A e B. Os números são pares e aumentam de 2 em 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Portanto, depois de B12, a

próxima senha deve ser A14.

Muitas questões de sequência funcionam assim. Elas não exigem adivinhação, mas observação. O aluno precisa comparar os termos, testar uma regra e verificar se ela funciona em todos os elementos.

Como evitar esse erro

Em sequências, nunca olhe apenas para o último termo. Observe o conjunto.

No caso das senhas:

Letras: A, B, A, B, A, B.

Próxima letra: A.

Números: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Próximo número: 14.

Resposta: A14.

Quando houver letras e números juntos, analise cada parte separadamente. Muitas sequências misturam dois ou mais padrões.

Sexto erro: tratar uma frase como proposição sem verificar

Durante o atendimento, havia um cartaz na secretaria com as seguintes frases:

“Entregue seus documentos no balcão.”

“A matrícula só será liberada após conferência.”

“Você já confirmou o pagamento?”

“O atendimento começa às 8h.”

Nem todas essas frases são proposições. “Entregue seus documentos no balcão” é uma ordem. “Você já confirmou o pagamento?” é uma pergunta. Já “A matrícula só será liberada após conferência” e “O atendimento começa às 8h” são proposições, pois podem ser analisadas como verdadeiras ou falsas dentro do contexto.

Esse tipo de distinção é importante porque a lógica proposicional trabalha com frases declarativas que admitem valor de verdade. Segundo materiais de lógica matemática, conectivos são usados para unir ou modificar proposições e formar sentenças mais elaboradas.

Como evitar esse erro

Antes de analisar logicamente uma frase, faça duas perguntas:

A frase afirma alguma coisa?

Ela pode ser classificada como verdadeira ou falsa?

Se a resposta for sim, provavelmente é uma proposição.

Exemplos:

“O pagamento foi confirmado.” Proposição.

“Confirme o pagamento.” Não é proposição.

“Que horas começa a aula?” Não é proposição.

“A aula começa às 19h.” Proposição.

O que a equipe aprendeu

Depois do erro, a coordenação decidiu criar um pequeno roteiro de conferência para a secretaria. A ideia não era burocratizar o atendimento, mas tornar o processo mais seguro.

O novo procedimento ficou assim:

Primeiro, verificar se a frase analisada é uma regra, uma pergunta, uma ordem ou uma informação.

Segundo identificar os conectivos principais: “e”, “ou”, “não”, “se... então”.

Terceiro, transformar regras com “e” em listas de checagem.

Quarto, tratar regras com “ou” como alternativas, sem exigir mais do que o enunciado pede.

Quinto, não inverter frases com “se... então”.

Sexto, em sequências, observar

todos os termos antes de concluir.

Com esse processo simples, a equipe reduziu falhas, evitou retrabalho e passou a resolver dúvidas com mais segurança.

Aplicação prática para o aluno

O caso da secretaria mostra que a lógica está presente em situações reais. Sempre que uma pessoa interpreta uma regra, confere uma condição, organiza uma sequência ou toma uma decisão com base em informações, está usando raciocínio lógico.

Para o aluno iniciante, o mais importante é não decorar os conectivos de forma mecânica. É preciso entender o papel de cada um:

“E” exige que todas as partes sejam verdadeiras.

“Ou” indica alternativa e, em muitos casos, basta uma das opções.

“Não” inverte ou nega uma afirmação.

“Se... então” liga condição e consequência.

Sequências exigem observação do padrão, não chute.

Esse entendimento ajuda tanto em exercícios quanto em situações profissionais e cotidianas.

Conclusão do estudo de caso

O erro na matrícula de Rafael mostra como pequenas palavras podem mudar completamente uma decisão. A secretaria confundiu parte da regra com a regra inteira, ignorou o conectivo “e”, quase inverteu uma condicional e ainda interpretou uma sequência de forma apressada.

O Módulo 2 ensina justamente a evitar esse tipo de falha. Proposições ajudam a identificar frases que podem ser analisadas logicamente. Conectivos mostram como as informações se relacionam. Sequências e padrões treinam a observação e a construção de hipóteses.

Pensar logicamente não significa complicar o simples. Significa ler melhor, organizar melhor e concluir com mais segurança. Em muitos casos, o erro não está na falta de conhecimento, mas na pressa de responder antes de compreender.

Referências bibliográficas

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.

INEP. PISA 2022: Itens públicos de matemática. Brasília: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, 2023.

OCDE. PISA 2022: Matemática.

IMPA; OBMEP. Introdução à Lógica Matemática. Portal da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.

MUNDO EDUCAÇÃO. Lógica matemática: proposições, símbolos e conectivos.

COPI, Irving M. Introdução à lógica. São Paulo: Mestre Jou.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel.

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